泰勒级数

拉数学中，泰勒级数（英语：Taylor series）用无限项连加式——级数来表示一个函数，箇些相加个项由函数拉某一点个导数求得。泰勒级数是以拉1715年发表了泰勒公式个英国数学家布鲁克·泰勒（Sir Brook Taylor）来命名个。

定义

$f(x)$ 是參考點 $x=a$ 个泰勒展開式：

$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{″}(a)}{2!}(x-a{)}^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a{)}^3+...$

$a=0$ 个辰光，也叫麥克勞林級數。

例子

• $e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...$
• $\cos (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+...$
• $\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+...$
• $\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots +\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}{x}^n+\cdots \mathrm{\forall }x\in (-1,1]$