克罗内克δ函数

数学里向，克罗内克δ函数（貤叫克罗内克函数、克罗内克δ）是一隻二元函数，是拿德国数学家利奥波德·克罗内克个名字来命名个，一般简写成 $δ_{i j}$ ，用个辰光带两隻下标。克罗内克函数个自变量（输入值）一般是两個整数，如果两隻数字相等，则输出值是1，否则是0。

δ_{i j} = {\begin{matrix} 1 & (i = j) \\ 0 & (i \neq j) \end{matrix}

。

其它写法

对克罗内克δ函数，有其他写法。用艾佛森括号，好写成迭能介：

δ_{i j} = [i = j]

。

同时，当一個变量是0个辰光，常常会得省脱伊，记号变成 $δ_{i}$ ：

δ_{i} = {\begin{matrix} 1, & if i = 0 \\ 0, & if i \neq 0 \end{matrix}

。

线性代数里向，克罗内克δ函数好看成隻张量，写成 $δ_{j}^{i}$ 。

克罗内克函数有筛选性：对任意个 $j \in ℤ$ ：

\sum_{i = - \infty}^{\infty} δ_{i j} a_{i} = a_{j}

。

如果拿整数看做隻装备计数测度个测度空间，箇么伊个性质跟狄拉克δ函数个定义是一样个：

\int_{- \infty}^{\infty} δ (x - y) f (x) d x = f (y)

。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数来个。来勒信号处理里向，两個函数是弗同上下文里向个同一概念。

线性代数里向，单位矩阵好用克罗内克δ函数写成 $(δ_{i j})_{i, j = 1}^{n}$ ；看成张量个辰光（克罗内克张量），好写成 $δ_{j}^{i}$ 。

箇隻(1,1)向量表示:

定义广义克罗内克函数是 $n \times n$ 矩阵个行列式，用方程式表达是^[1]

δ_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}}^{j_{1} j_{2} \dots j_{n}} = [\begin{matrix} δ_{i_{1}}^{j_{1}} δ_{i_{2}}^{j_{1}} & \dots & δ_{i_{n}}^{j_{1}} \\ δ_{i_{1}}^{j_{2}} δ_{i_{2}}^{j_{2}} & \dots & δ_{i_{n}}^{j_{2}} \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ δ_{i_{1}}^{j_{n}} δ_{i_{2}}^{j_{n}} & \dots & δ_{i_{n}}^{j_{n}} \end{matrix}]

；

當中， $δ_{j}^{i}$ 是個张量函数，定义是 $δ_{j}^{i} \overset{d e f}{=} δ_{i j}$ 。