望“克罗内克δ函数”个源码

[[数学]]里向，'''克罗内克δ函数'''（貤叫'''克罗内克函数'''、'''克罗内克δ'''） 是一隻二元[[函数]]，是拿[[德国]]数学家[[利奥波德·克罗内克]]个名字来命名个，一般简写成<math>\delta_{ij}\,\!</math>，用个辰光带两隻下标。克罗内克函数个自变量（输入值）一般是两個整数，如果两隻数字相等，则输出值是1，否则是0。
:<math>\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1 & (i=j)  \\ 
0 & (i \ne j) \end{matrix}\right.\,\!</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

==其它写法==
对克罗内克δ函数，有其他写法。用[[艾佛森括号]]，好写成迭能介：
: <math>\delta_{ij} = [i=j ]\,\!</math> 。

同时，当一個变量是0个辰光，常常会得省脱伊，记号变成 <math>\delta_i\,\!</math> ：
:<math>\delta_{i} = \left\{\begin{matrix} 
1, & \mbox{if } i=0  \\ 
0, & \mbox{if } i \ne 0 \end{matrix}\right.\,\!</math>  <span style="vertical-align:bottom">。</span>

[[线性代数]]里向，克罗内克δ函数好看成隻[[张量]]，写成<math>\delta^i_j\,\!</math>。

==性质==
克罗内克函数有筛选性：对任意个 <math>j\in\mathbb Z\,\!</math> ： 
:<math>\sum_{i= - \infty}^\infty \delta_{ij} a_i=a_j\,\!</math> 。
如果拿整数看做隻装备[[计数测度]]个[[测度空间]]，箇么伊个性质跟[[狄拉克δ函数]]个定义是一样个：
:<math>\int_{-\infty}^\infty \delta(x-y)f(x) dx=f(y)\,\!</math> 。

实际上，狄拉克δ函数是根据克罗内克函数来个。来勒信号处理里向，两個函数是弗同上下文里向个同一概念。

===线性代数里向个应用===
[[线性代数]]里向，[[单位矩阵]]好用克罗内克δ函数写成 <math>(\delta_{ij})_{i,j=1}^n\,\!</math> ；看成[[张量]]个辰光（克罗内克张量），好写成<math>\delta^i_j\,\!</math> 。

箇隻(1,1)向量表示:
* 作为[[线性映射]]个单位矩阵；
* [[迹]]；
* [[内积]] <math>V^* \otimes V \to K\,\!</math> ；
* 映射 <math>K \to V^* \otimes V\,\!</math> ，拿数量乘积表示成[[外积]]个形式。

==广义克罗内克函数==
定义'''广义克罗内克函数'''是<math>n\times n\,\!</math>矩阵个[[行列式]]，用方程式表达是<ref>{{Citation
  | last = Heinbockel
  | first = J. H.
  | title = Introduction to Tensor Calculus and Continum Mechanics
  | place = Victoria, B.C. Canada
  | publisher = Trafford Publishing
  | year = 2001
  | pages = pp. 14, 31
  | url = http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html
  | isbn = 1-55369-133-4
  | access-date = 2010-04-25
  | archive-url = https://web.archive.org/web/20200106103811/http://www.math.odu.edu/~jhh/counter2.html
  | archive-date = 2020-01-06
  | dead-url = yes
  }}</ref>
:<math>\delta^{j_1 j_2 \dots j_n}_{i_1 i_2 \dots i_n} = 
\begin{bmatrix}
  \delta^{j_1}_{i_1} \delta^{j_1}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_1}_{i_n}      \\
  \delta^{j_2}_{i_1} \delta^{j_2}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_2}_{i_n}      \\
  \vdots & \ddots & \vdots \\ 
  \delta^{j_n}_{i_1} \delta^{j_n}_{i_2}     & \cdots & \delta^{j_n}_{i_n}      \\
\end{bmatrix}\,\!</math>  <span style="vertical-align:bottom">；</span>

當中，<math>\delta^{i}_{j}\,\!</math> 是個[[张量]]函数，定义是<math>\delta^{i}_{j}\ \stackrel{def}{=}\ \delta_{ij}\,\!</math> 。

==参考文献==
{{Reflist}}

== 参见 ==
* [[狄拉克δ函数]]
* [[同或门]]

[[Category:数学符号]]
[[Category:函数]]